python+numpy+matplotalib实现梯度下降法

脚本专栏 2025/1/12 佚名

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这个阶段一直在做和梯度一类算法相关的东西，索性在这儿做个汇总：

一、算法论述

梯度下降法(gradient descent)别名最速下降法（曾经我以为这是两个不同的算法-.-）,是用来求解无约束最优化问题的一种常用算法。下面以求解线性回归为题来叙述：

设：一般的线性回归方程（拟合函数）为：（其中的值为1）

则这一组向量参数选择的好与坏就需要一个机制来评估，据此我们提出了其损失函数为(选择均方误差)：

我们现在的目的就是使得损失函数取得最小值，即目标函数为：

如果的值取到了0，意味着我们构造出了极好的拟合函数，也即选择出了最好的值，但这基本是达不到的，我们只能使得其无限的接近于0，当满足一定精度时停止迭代。

那么问题来了如何调整使得取得的值越来越小呢？方法很多，此处以梯度下降法为例：

分为两步：（1）初始化的值。

（2）改变的值，使得按梯度下降的方向减少。

值的更新使用如下的方式来完成：

其中为步长因子，这里我们取定值，但注意如果取得过小会导致收敛速度过慢，过大则损失函数可能不会收敛，甚至逐渐变大，可以在下述的代码中修改的值来进行验证。后面我会再写一篇关于随机梯度下降法的文章，其实与梯度下降法最大的不同就在于一个求和符号。

二、代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d
from matplotlib import style
 
 
#构造数据
def get_data(sample_num=10000):
 """
 拟合函数为
 y = 5*x1 + 7*x2
 :return:
 """
 x1 = np.linspace(0, 9, sample_num)
 x2 = np.linspace(4, 13, sample_num)
 x = np.concatenate(([x1], [x2]), axis=0).T
 y = np.dot(x, np.array([5, 7]).T) 
 return x, y
#梯度下降法
def GD(samples, y, step_size=0.01, max_iter_count=1000):
 """
 :param samples: 样本
 :param y: 结果value
 :param step_size: 每一接迭代的步长
 :param max_iter_count: 最大的迭代次数
 :param batch_size: 随机选取的相对于总样本的大小
 :return:
 """
 #确定样本数量以及变量的个数初始化theta值
 m, var = samples.shape
 theta = np.zeros(2)
 y = y.flatten()
 #进入循环内
 print(samples)
 loss = 1
 iter_count = 0
 iter_list=[]
 loss_list=[]
 theta1=[]
 theta2=[]
 #当损失精度大于0.01且迭代此时小于最大迭代次数时，进行
 while loss > 0.001 and iter_count < max_iter_count:
 loss = 0
 #梯度计算
 theta1.append(theta[0])
 theta2.append(theta[1])
 for i in range(m):
  h = np.dot(theta,samples[i].T) 
 #更新theta的值,需要的参量有：步长，梯度
  for j in range(len(theta)):
  theta[j] = theta[j] - step_size*(1/m)*(h - y[i])*samples[i,j]
 #计算总体的损失精度，等于各个样本损失精度之和
 for i in range(m):
  h = np.dot(theta.T, samples[i])
  #每组样本点损失的精度
  every_loss = (1/(var*m))*np.power((h - y[i]), 2)
  loss = loss + every_loss
 
 print("iter_count: ", iter_count, "the loss:", loss)
 
 iter_list.append(iter_count)
 loss_list.append(loss)
 
 iter_count += 1
 plt.plot(iter_list,loss_list)
 plt.xlabel("iter")
 plt.ylabel("loss")
 plt.show()
 return theta1,theta2,theta,loss_list
def painter3D(theta1,theta2,loss):
 style.use('ggplot')
 fig = plt.figure()
 ax1 = fig.add_subplot(111, projection='3d')
 x,y,z = theta1,theta2,loss
 ax1.plot_wireframe(x,y,z, rstride=5, cstride=5)
 ax1.set_xlabel("theta1")
 ax1.set_ylabel("theta2")
 ax1.set_zlabel("loss")
 plt.show()
def predict(x, theta):
 y = np.dot(theta, x.T)
 return y 
if __name__ == '__main__':
 samples, y = get_data()
 theta1,theta2,theta,loss_list = GD(samples, y)
 print(theta) # 会很接近[5, 7] 
 painter3D(theta1,theta2,loss_list)
 predict_y = predict(theta, [7,8])
 print(predict_y)

三、绘制的图像如下：

迭代次数与损失精度间的关系图如下：步长为0.01